Analyse vectorielle
Guide
Documents
J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)
Motivation
Si
f est une fonction continue d'un intervalle
I = [a,b] dans
, on définit l'intégrale de
a à
b de la fonction
f :
.
Il y a deux propriétés de l'intégration que l'on voudrait généraliser lorsqu'on se place
dans
ou
:
- Dans le cas où
f est positive et
a
b, on peut interpréter
comme une
aire
est l'aire du domaine
Df défini par
,
:
|
Ainsi, l'aire du domaine
Df limité par
le graphe de la fonction
f pour
f(x)= 3sin(x) et
x dans [0.3,2]
et les segments
OA,
OB et
BC
est égale à
|
|
On a donc relié l'intégrale d'une fonction à une aire, c'est-à-dire à l'intégrale
double
dx dy. Cela s'exprimera plus tard comme le théorème de Green :
( 3sin(x) ) dx=
- On a la formule d'intégration fondamentale
f'(t) dt = f(b) - f(a)
Préliminaires
- On peut voir
comme un espace vectoriel sur
. On appelle alors ses éléments des
vecteurs .
Prenez le aléatoire
ou
On peut
additionner des vecteurs ou les multiplier par un scalaire, c'est-à-dire par un réel.
On note un élément de
soit comme un
n-uplet
(x
1,...,x
n) soit on l'écrit dans la base canonique
e1 = (1,0,0,...), e2 = (0,1,0,...), ..., en = (0,...,0,1) :
par exemple pour
n=5,
(x1, x2, x3, x4, x5) = x1 e1 + x 2 e2 + x 3 e3 + x 4 e4 + x 5 e5.
Pour
n = 2 et
n = 3, il est fréquent que l'on note les vecteurs de la base canonique par
et
. Nous utiliserons les trois notations.
Exercice : espace vectoriel :
Tir aux vecteurs
- On peut voir
comme un espace affine formé de
points .
La notation
M+
v avec
M un
point et
v un vecteur désigne le point translaté de
M par le vecteur
v.
Ainsi,
dans
, si
M est le point (0.1, -1.2 ) et
v le vecteur
1 e
1 + (0.2 )e
2 ,
M+
v est le point (1.1, -1 ).
Si
N=
M+
v, on note
.
Un sous-espace affine est
le translaté d'un sous-espace vectoriel (appelé sa direction vectorielle).
Par exemple
, l'ensemble des points de
vérifiant
x1 +2x2 +0.1x3 =0.4 est un plan affine. Sa direction vectorielle est d'équation
x1 +2x2 +0.1x3 =0.
Exercices sur les équations d'un sous-espace affine :
Equaffine
et
Equaffine
.
Vous pouvez aussi changer la configuration et faire d'autres types d'exercices
- L'espace vectoriel
est muni d'une norme euclidienne et d'un produit scalaire
:
si
u = (x1, ... ,xn) et
v = (y1 , ... ,yn), alors
. C'est un
espace euclidien .
On peut parler de
- vecteurs orthogonaux
- de longueur d'un vecteur :
si v=
, ||v||=
-
de vecteurs unitaires
- de distance d'un point à une droite, à un plan...
- de produit vectoriel
Quelques exercices sur les distances dans l'espace euclidien
:
distance d'une droite à un plan
,
distance d'un plan à un plan
,
distance d'un point à un plan I
,
distance d'un point à un plan II
,
distance entre deux droites I
,
distance entre deux droites II
.
- L'espace affine
est alors muni d'une distance :
et d'une
topologie.
Les
boules ouvertes
sont les sous-ensembles de
de la forme
pour
A un point et
r un réel
positif.
Un sous-ensemble
de
est dit
ouvert si tout point de
appartient à une boule ouverte contenue dans
.
Les boules ouvertes sont des ouverts.
On
peut donc définir la continuité d'une fonction d'un ouvert
de
dans
.
Exemples :
L'ensemble des
tels que
et
-1<
y<1 n'est pas un ouvert.
regarder le point (0,1/2) par exemple
L'ensemble des
tels que
0< x< 3 et
-1<y<1 est un ouvert .
Exercice : topologie ( pas encore)
Champ de vecteurs
Champ de vecteurs
Définition :
Un champ de vecteurs (ou champ vectoriel)
F sur
défini sur un domaine
de
est une fonction de
dans
.
Il est dit continu si
F est continu,
C1 si
F est
C1 (c'est-à-dire continu et
admettant des dérivées partielles continues).
Ainsi, à un point de
, on associe un vecteur
F(x,y)
.
Exemple : Dans les champs de vecteurs
représentés graphiquement, les longueurs des vecteurs sont souvent modifiés par
un coefficient de proportionnalité pour des raisons esthétiques. Il est souvent aussi plus facile de représenter le champ de directions associé, c'est-à-dire de dessiner des vecteurs unitaires représentant les directions du champ en oubliant son "intensité" c'est-à-dire sa norme. Voici les deux représentations du champ donné par
F(
x,
y)=(,)
Représentation graphique d'un champ
Soit
F le champ défini par
F(
x,
y)=( , ).
Voici
une représentation de ce champ à droite et la représentation du champ de directions associé à gauche (celui-ci est le champ
G défini par
:
Exemples de champ
Exemple :
- Le champ de vecteurs tangents à une courbe dans
; il est donc défini sur la courbe et non sur
.
Dessin
- Le champ des vecteurs normaux à une surface dans
; il est défini sur cette surface (attention, on ne peut pas
parler du champ de vecteurs tangents à une surface. Pourquoi ?)
- Le
gradient
- Les champs associés à des
équations différentielles
ou des
systèmes diffférentiels
.
Ne pas confondre avec un champ scalaire sur
qui est pour le
mathématicien une fonction d'un domaine de
dans . Par exemple,
le champ de température est la fonction donnant la température en un point le champ de pression
est la fonction donnant la température en un point.
Exemple
Vous avez rencontré en physique des champs de vitesse
champs de force, des
champs électriques, des
champs magnétiques, des
champs électrostatiques, des champs de vitesse, des
champs gravitationnels. Quelle grandeur physique représente dans chaque cas le
champ ?
Le gradient
Soit
une fonction de 4 variables. On lui
associe un champ de vecteurs appelé
champ de gradient
et noté grad
f ou
f :
(x1, x2, x3, x4)
f (x1, x2, x3, x4)= (D1 f(x1, x2, x3, x4), D2 f(x1, x2, x3, x4), D3 f(x1, x2, x3, x4), D4 f(x1, x2, x3, x4))
avec
.
En posant
M = (x1, x2, x3, x4)
,
grad
f(M)=(D1 f(M), D2 f(M), D3 f(M), D4 f(M)).
Exercice
Autres notations :
- en utilisant la base canonique (
e1,
e2,
e3,
e4
)
f =
D1 f e1 + D2 f e2 + D3 f e3 + D4 f e4
-
En physique, on utilise la notation suivante :
ux=e1,
uy=e2,
uz=e3 ce qui donne les formules suivantes
dans
dans
ou en mettant les scalaires après les vecteurs contrairement à nos habitudes
dans
dans
.
Pour plus de détails relatifs aux fonctions de plusieurs variables, au gradient et aux courbes de niveau, voir
Doc Fonctions de plusieurs variables
Champ de vecteurs associé à une équation différentielle
Soit
f une fonction sur un ouvert
de
.
On considère une équation différentielle
y' =
f(
x,
y) et on lui associe le champ de vecteurs suivant :
à un point
M = (
x,
y) de
,
on associe le vecteur unitaire de direction
(1,
f(
x,
y)). C'est donc le vecteur
.
Si
est une
solution sur un intervalle
I, on a
et le vecteur tangent à la courbe d'équation
en un point est
colinéaire au champ de vecteurs associé à l'équation différentielle.
Exemple : Voici le dessin des directions associés à l'équation différentielle
y'=
.
Systèmes différentiels
Soit
un système d'équations différentielles. Le champ de vecteurs associé est le champ de vecteurs
F=(
f1,
f2) (champ de vitesse par exemple).
Une courbe intégrale est, disons, une courbe paramétrée
qui est
C1 et qui vérifie
En chaque point, la tangente est de direction le champ de vecteurs
F.
On les appelle aussi
lignes de courant : ce sont par
exemple, les trajectoires d'un objet dont le champ de vitesse est le champ de vecteurs
considéré.
Exemple :
|
Le champ associé au système différentiel
est donné par
F(x,y)= (,)
|
.
|
Formes différentielles
Rappels sur les formes linéaires
Définition : Une
forme linéaire
sur l'espace vectoriel
est une application linéaire de
dans
.
Par exemple, la projection
est une forme linéaire de
, notons-la
.
De même, la projection
est une forme linéaire, notons-la
.
Toute forme linéaire est représentée (dans la base usuelle
(e 1 , e 2 , e 3 ) de
) par une matrice à une ligne et
3 colonnes (a 1 ,a 2 ,a 3 ) et on a
(x,y,z )=(x e 1+ye 2+ze 3 )= x( e 1)+y(e 2)+z(e 3)
= x a 1+ya 2+za 3
= (a 1 e 1* + a 2 e 2* + a 3 e 3* )(x,y,z )
c'est-à-dire
=a 1 e 1* + a 2 e 2* + a 3 e 3*
Ainsi, toute forme linéaire sur
est combinaison linéaire des
(e
1* , e
2* , e
3* ).
Exercice :
Vérifier que si
f est une forme linéaire sur
,
il existe un vecteur
v tel que
pour tout vecteur
u de
.
Formes différentielles
Commencer par des
rappels sur les formes linéaires
avant la définition suivante :
Définition :
Une
forme différentielle
(de degré 1) sur un ouvert
de
est la donnée en chaque point
M de
d'une forme linéaire
. En coordonnées,
Par exemple pour
n=4
, cela s'écrit
(M)= P1(M)e 1* + P 2(M) e 2* + P 3(M) e 3* + P 4(M) e 4*
Pour
n=2, avec des notations un peu différentes,
(x,y)= P(x,y)e 1*+ Q(x,y)e 2*
= Pe 1*+ Qe 1*
Exemple des formes différentielle associées à une fonction :
Soit
une fonction de
n variables. On lui associe la forme différentielle
de degré 1
Par exemple, pour
n = 4
,
df = D1(f)e 1* + D 2(f) e 2* + D 3(f) e 3* + D 4(f) e 4*
Pour
n = 2,
Si
f(x,y) = x, on obtient
df = e1, si
f(x,y) = y, on obtient
df = e2.
D'où la notation commode
dx = e1,
dy =e2 et l'expression plus familière qu'il faut retenir
.
et lorsqu'il y a
n variables,
Pour n = 1
La notion (ou notation) si on remplace
par
est la suivante :
à une fonction d'une variable
F sur un intervalle
I de
,
on associe
- un "champ de vecteurs" sur
I (à valeurs dans
) donné
par
.
- une forme différentielle de degré 1 sur
I notée
F dx.
Le champ
F est un champ de gradient
si
F est la dérivée d'une fonction
f. La forme différentielle associée est alors
df = f'dx, d'où la notation
.
Lien entre champs de vecteurs et formes différentielles
Champs de vecteurs
et
formes différentielles
sont extrêmement liés.
Si
est une forme différentielle sur
, on lui associe le champ de vecteurs
.
En posant
, on a alors symboliquement
.
Par exemple, si
f est une fonction sur
,
le champ de vecteurs associé à la forme différentielle
df est égal à grad
f
et on a
df = grad
Intégration le long d'une courbe
On désire définir l'analogue de
avec
= f(x) dx.
Pour cela on remplace le segment [
a , b] de par une courbe paramétrée de
ou de
et
f(t) dt par une forme différentielle ou par
.
Rappels sur les courbes paramétrées
Définition :
Une
courbe paramétrée (plane) est une application d'un
intervalle
I de
dans
, ce qu'on appelle aussi
fonction vectorielle . Le
paramètre est
t, l'image de cette application est formée des points de la courbe.
Autrement dit, si
n=5
,
une courbe paramétrée dans
est donnée par
c : t
I (c1(t),c2(t),c3(t),c4(t),c5(t)). On note
l'image de
c. Lorsque
I est un intervalle fermé borné [a,b], les points extrémités de
sont les points
c(a) et
c(b). La courbe est fermée si
c(a)=c(b).
On écrit par exemple
x1= c1(t)
x2= c2(t)
x3= c3(t)
x4= c4(t)
x5= c5(t)
| | t [a,b] |
On ne regardera que des courbes
C1 par morceaux sur un intervalle fermé, c'est-à-dire telles que les
5 fonctions c 1
, c 2
, c 3
, c 4
, c 5
soient continues et
C1 par morceaux, on appelle une telle courbe un
chemin de
A=c(a) vers
B=c(b).
Vecteur tangent à une courbe paramétrée
En un point
t où les
ci sont dérivables et tel que les
c'i(t)) ne soient pas tous nuls,
le vecteur vitesse ou vecteur tangent
est
le vecteur
ou encore
.
Par exemple, pour n=2, la tangente
à la courbe en
c(t) a la représentation paramétrique
x= c1(t) + u c1'(t)
y= c2(t) + u c2'(t)
pour
, ce qui traduit la relation de colinéarité des vecteurs
et
v(t) :
.
c1(t),c2(t),c3(t),c4(t),c5(t)
Le cercle paramétré par
x=, y= et son vecteur vitesse
Exercice sur la droite tangente à une courbe paramétrée.
Changement de paramètres
On peut changer le paramétrage, c'est-à-dire remplacer
t par
où
est une bijection d'un intervalle
J sur
I, continue, dérivable,
à dérivée continue et strictement positive .
Prenons
n=2
. La nouvelle courbe
paramétrée est donnée par C=(C1
,C2
) avec C1 (
)=
c1 (())
, C2 ()=
c2(())
pour
. Les points des deux courbes paramétrées
sont les mêmes. Mais le vecteur vitesse n'est pas le même :
.
Nous avons supposé que le changement de paramétrage
est croissant,
ainsi la courbe est "parcourue" dans le même sens de l'extrémité
A vers l'extrémité
B.
Choix paramétrés
Longueur d'une courbe et abscisse curviligne
Prenez la dimension
n aléatoire
ou
Soit
C une courbe paramétrée dans
C1 par morceaux d'équations paramétrées
x1 = c1(t)
, x2 = c2(t)
, x3 = c3(t)
, x4 = c4(t)
pour
t [a,b]. La longueur de la courbe est égale à
long(C) =
.
Pour des détails et une démonstration dans le cas de
, voir le document
Doc Longueur et intégrale curviligne
.
Rappelons simplement qu'une abscisse curviligne est un nouveau paramétrage de la courbe par la longueur définie à partir du paramétrage donné
t par
s(t) =
.
Intégrale curviligne d'un champ de vecteurs
Prenez la dimension
n aléatoire
ou
Définition :
Soit
une courbe paramétrée et
un ouvert contenant
.
Soit
F un champ de vecteurs sur
. On définit
l'
intégrale curviligne du champ de vecteurs
F=(F
1
,F
2
,F
3
,F
4
)=
F
1 e
1
+F
2 e
2
+F
3 e
3
+F
4 e
4
le long
de
comme
_{{C}}F dM= _{a}^b F(c(t)) {dc}{dt: dt
= _{a}^b) (F1 (c(t))c'1(t)
+F2 (c(t))c'2(t)
+F3 (c(t))c'3(t)
+F4 (c(t))c'4(t)
)dt
L'intégrale curviligne de
F ne
dépend pas du paramétrage de la courbe
, mais
uniquement de l'image
, ce qui
justifiera la notation
.
Elle ne dépend pas non plus du
changement de coordonnées.
Indépendance par rapport au paramétrage
Un autre paramétrage de
est donné par
où
est une bijection,
dérivable, de dérivée non nulle, croissante.
Ce qu'on appelle aussi un difféomorphisme
conservant l'orientation de la courbe.
Calculons l'intégrale curviligne de
F=(F1
, F2
, F3
)
en utilisant le paramétrage
(cas d'un champ de vecteurs sur
)
:
(
F1(c o (t))'(t)c'1((t))
+F2(c o (t))'(t)c'2
((t))
+F3(c o (t))'(t)c'3
((t))
)dt =
'(t)(F1(c o (t))c'1((t))
+F2(c o (t))c'2
((t))
+F3(c o (t))c'3
((t))
) dt
On fait le changement de variables
: on obtient
=
(
F1(c)c'1(s)
+F2(c(s))c'2
(s)
+F3(c(s))c'3
(s)
)ds =
Où est cachée l'utilisation de la croissance de
? La formule de changement de variables est
.
L'écriture
pour J=[a,b] signifie
avec
. Lorsque
est décroissante, l'intervalle
est l'intervalle
. Pour
décroissante, on a donc la formule
_J F(c (t)) {d(c )}{dt}(t: dt = - _I F(c(s)
){dc}{ds}(s) ds).
On déduit de ce calcul que
la définition de l'intégrale curviligne a bien un sens, à condition de considérer
le chemin
,
comme orienté : "on parcourt la courbe de l'extrémité
A=c(a) vers l'extrémité
B=c(b)".
Changement de coordonnées
Plaçons-nous dans
. Soit
un changement de coordonnées
,
) de
dans un ouvert
: autrement dit, on se donne une application injective
de
sur un ouvert
(donc
bijective de
sur
),
C1 et telle que
le déterminant de
Jac
soit partout non nul sur
. On dit aussi que
est un
difféomorphisme de 
sur
.
Soit
F = (P,Q) un champ de vecteurs.
On applique le changement de variables
,
:
et
F
devient dans les coordonnées (X,Y)
P(x,y)dx+Q(x,y)dy
=
=
=P1(X,Y) dX +Q1(X,Y) dY
avec
ou encore
Théorème :
On a
avec
(P1,Q1) comme ci-dessus.
Exercice :
Que donnent ces formules dans le cas du changement en coordonnées polaires
,
? ne pas chercher à appliquer la formule précédente mais refaire le calcul
dans ce cas particulier.
Qu'en déduit-on lorsque
est de la forme
df avec
f une fonction de deux variables ?
Intégrale curviligne d'une forme différentielle
Définition
Soit
une courbe paramétrée
C1 et
un ouvert de
contenant
.
Soit
une forme différentielle définie sur
. On définit
l'intégrale (curviligne) de la forme
différentielle
le long du chemin
comme
Autrement dit, on intègre
(c(t)) qui est par définition
( P(c(t)) c1'(t) + Q(c(t)) c2'(t)) dt= P(c(t)) dc1(t) + Q(c(t)) dc2(t)
entre
a et
b.
De même
Définition
Soit
une courbe paramétrée
C1 et
un ouvert
de
contenant
.
Soit
=P 1 dx 1
+ P 2 dx 2
+ P 3 dx 3
+ P 4 dx 4
+ P 5 dx 5
une forme différentielle définie sur
. On définit
l'intégrale (curviligne) de la forme
différentielle
le long du chemin
comme
(
P 1 (c(t))c' 1 (t)
+ P 2 (c(t)) c' 2 (t)
+ P 3 (c(t)) c' 3 (t)
+ P 4 (c(t)) c' 4 (t)
+ P 5 (c(t)) c' 5 (t)
) dt
Ainsi, si
est le champ de vecteurs associé à , l'intégrale curviligne de
le long de la courbe
est la circulation de
le long de la courbe
.
L'intégrale curviligne d'une forme différentielle le long d'une courbe est indépendante du
changement de paramètre croissant
et se comporte bien par
changement de coordonnées
.
Exercice
Flux, travail
L'intégrale curviligne d'un champ de vecteurs
F le long d'une courbe s'appelle aussi
la circulation le long de la courbe. La circulation de
F
ne
dépend que de la composante tangentielle de
F à la courbe.
Lorsque le champ vectoriel représente un
champ de forces , on parle de
travail.
Le flux d'un champ
F = (P,Q) à travers une courbe
s'exprime aussi
comme une intégrale curviligne, celle du champ
(-Q , P). Ainsi, on a
Flux
En remarquant que
dn=(dy,-dx) "représente"
un vecteur orthogonal à
dM=(dx,dy) (vecteur tangent) et que
(dn, dM) forment une base directe, on voit que
le flux de F à travers
ne dépend que de la
composante normale de
F à la courbe .
Exercice
Intégration des champs de gradients
Théorème
Soit
un champ de vecteurs
C1 et
une courbe paramétrée
C1
d'extrémités
A = c(a) et
B = c(b)
: alors
C'est une généralisation du théorème
pour une fonction d'une variable (la démonstration s'y ramène d'ailleurs).
Démonstration
Faisons la démonstration pour
n = 2
. On a
avec
g(t) = f(c1(t),c2(t))
.
D'où la conséquence
Théorème
La circulation d'un champ de gradient le long d'un chemin ne dépend que des
extrémités
du chemin.
Exemple
Exemples
Exemple : On considère une attraction proportionnelle à la distance à un point
O, appelé centre
d'attraction. Le champ de vecteurs
F vérifie
. Ainsi
F(x,y)= -m x e1 -m y e2.
Si
, on a grad
f = F.
Donc l'intégrale curviligne de
F le
long d'un chemin allant d'un point
A à un point
B ne dépend pas du chemin et vaut
. Autrement dit,
le travail
effectué pour aller de
A à
B ne dépend pas du chemin.
Exemple :
On considère une attraction inversement proportionnelle à la distance à un point
O.
Le champ de vecteurs
F vérifie donc
Il est défini sur
.
Si
, le gradient de
f est égal à
F
sur
.
L'intégrale curviligne (le travail) de
F le long d'un chemin allant de
A à
B
qui ne passe pas par le point
O
ne dépend que
de
A et de
B et vaut
.
Caractérisation des champs de gradients
Condition nécessaire
Prenez la dimension aléatoire
Soit F=
(P,Q)
un
champ de gradient
C1 sur un ouvert
de
(on dit aussi
champ dérivant d'un potentiel
ou champ conservatif )
sur un ouvert
de
.
Il existe une fonction
f
C2 sur
à valeurs dans
telle que
grad f= F.
Alors on a
En effet, on a
et
par le
théorème de Clairaut-Schwarz
Soit
f une fonction de
n variables
x1,...xn qui est de classe
C2, c'est-à-dire continue et admettant
des dérivées partielles d'ordre 1 et 2 qui sont continues.
Alors, pour tout indice
i et
j, on a
.
Ainsi, si
n=3
, on a les égalités de fonctions
,
,
,
ce qui fait 3
égalités.
On aimerait avoir une réciproque. Mais cela dépend de la forme de l'ouvert.
Condition suffisante pour une boule ouverte
Prenons d'abord pour ouvert une boule ouverte.
Théorème :
Si
est une boule ouverte de
,
tout champ de vecteurs
C1 vérifiant
les conditions précédentes
pour
i et
j compris entre 1 et 3
est un champ de gradient.
Démonstration
Démonstration
En faisant éventuellement une translation, on peut supposer
que le centre de la boule est
O. On va sortir de son chapeau une fonction
f
(potentiel) qui va convenir :
(P(tx,ty) x + Q(tx,ty)y) dt
Cela a bien un sens, car si
, le point
(
tx,
ty)
appartient aussi à
puisqu'il est sur le segment [O,M]. Calculons la dérivée partielle de
f par
rapport à
x
:
=
Donc,
.
De même,
.
De plus,
f est bien
C1 (dérivées partielles continues). Ce qui termine la démonstration.
Remarques
Bien que la méthode pour trouver la fonction potentiel n'est jamais de retenir la formule par coeur,
il est intéressant
de comprendre ce qu'on a fait :
La formule donnant
f dans la
démonstration
est l'intégrale curviligne du champ
F le long du segment
joignant le point
O au point
M= (x,y), c'est-à-dire
.
Ce segment est entièrement contenu
dans l'ouvert
.
Pour des
plus compliqués, il peut exister un champ
vérifiant les conditions sur les dérivées partielles et qui n'est pas un champ de gradients :
Exemple
Nous allons maintenant voir quelles
propriétés
on peut demander à
pour
que le théorème de caractérisation des champs de gradients s'applique.
Indépendamment de tous ces théorèmes, on peut toujours essayer d'intégrer :
Technique d'intégration
Théorème général
Théorème : Soit
F = (F1,...,Fn) un
champ vectoriel
C1 sur un ouvert connexe
vérifiant
. Si
l'intégrale curviligne de F le long d'un chemin contenu dans
ne dépend que des extrémités du chemin, alors
F est un champ de gradients sur
.
Remarques :
- Grâce au
théorème de Green
, nous verrons que l'hypothèse sur l'indépendance
du chemin est vérifiée pour un ouvert
simplement connexe
.
- En fait, l'hypothèse d'indépendance suffit.
Démonstration :
Soit
A un point fixé de
et P un point de
On pose
où on désigne par cette notation
l'intégrale curviligne de
F le long d'un chemin
allant de
A à
P (par hypothèse, cela ne dépend pas du chemin).
Calculons les dérivées partielles de
f en un point
P0. Pour cela, on choisit une
boule ouverte contenant
P0 et contenue dans
et on note
C son
centre. On a alors
et on peut prendre comme chemin de
C à
P le segment
CP.
Ainsi, la fonction
est exactement la fonction que nous
avons défini dans la démonstration pour une boule ouverte.
Comme
f(
C) ne dépend pas de
P, les dérivées partielles
de
f et de
g en
P0 sont égales et on a donc
pour i compris entre 1 et
n.
Technique d'intégration
Si
F = (F1,F2,F3,F4)
est un champ de vecteurs tel que
Di(Fj) = Dj(Fi) pour
i et
j compris entre 1 et 4
, on cherche une fonction
f telle que
grad
f = F
de la manière suivante :
- on commence par intégrer
D4(f)(x1 ,x2 ,x3 ,x4) = F4(x1 ,x2 ,x3 ,x4)
c'est-à-dire
trouver une primitive
f4
de
F4
par rapport à
x4
.
-
On a donc
f(x1 ,x2 ,x3 ,x4)= f4(x1 ,x2 ,x3 ,x4)+g4(
x1
,x2
,x3
)
avec
g4
une fonction ne dépendant que de
x1
,x2
,x3
. On dérive par rapport à
x3
, ce qui donne l'équation
D3(g4)(x1
,x2
,x3
) =
F3(x1 ,x2 ,x3 ,x4) - D3(f4)(x1 ,x2 ,x3 ,x4)
.
-
On cherche une primitive de
F3(x1 ,x2 ,x3 ,x4) - D3(f4)(x1 ,x2 ,x3 ,x4)
par rapport à
x3 (elle ne dépend que de x1
,x2
,x3
).
Et on continue.
Mais rien ne vaut la pratique !
Exercices
Exercice : un champ de vecteurs sur R^2 est-il un champ de gradient
Exercice sur les champs de vecteurs conservatif
Exercice sur la connexité, simple connexité
Vers le rotationnel
Nous avons vu l'importance pour un champ de vecteurs
F = (F1,...,Fn) des fonctions
Di(Fj) - Dj(Fi) pour 1
i, j
n. Au signe près, il y en a
.
- Pour
n = 2, il y en a donc une, c'est
D2(F1) - D1(F2) .
- Pour
n = 3, il y en a trois :
D2(F3) - D3(F2), D3(F1)-D1(F3), D1(F2) - D2(F1)
- Pour
n = 4, il y en a 6 : dans le désordre, il s'agit de
D2(F3) - D3(F2), D3(F4) - D4(F3), D4(F1) - D1(F4),D1(F3) - D3(F1) , D2(F3) - D3(F2), D2(F1) - D1(F2)
Pour
n=2 : On note rot F =
et on l'appelle le rotationnel
de
F. C'est une fonction.
Pour
n=3 : On note rot
F le champ de vecteurs de
donné par
D2(F3) - D3(F2), D3(F1) - D1(F3), D1(F2) - D2(F1)
ou si on prend comme variables de
F = (P,Q,R) les variables
x,y,z
le champ de vecteurs
et on l'appelle le rotationnel
de
F.
Pour
n > 3, on peut encore associer un champ de vecteurs à
F dans
dont les composantes
sont au signe près les fonctions
Di(Fj) - Dj(Fi) mais cela dépasse le cadre de ce cours
car il faut alors abandonner les champs de vecteurs pour la notion de formes différentielles.
Théorème de Green-Riemann
Théorème de Green-Riemann
Théorème
Soit
une courbe
C1 fermée sans points doubles entourant un
domaine
et orientée de manière à avoir
sur la
gauche. Soit
F = (
P,
Q) un champ de vecteurs sur
défini et de classe
C1
sur
. Alors
Autrement dit, avec rot
(F) =
et bien orientée
Il faut savoir faire la démonstration dans le cas d'un domaine du type
avec
f1 et
f2 deux fonctions
C1 sur
I = [a,b] telles que
f1(x) < f2(x).
Le théorème de Green a une application très intéressante à la mesure de surfaces planes par le biais du
planimètre
.
Exemples : courbes où le théorème s'applique
Exemples de courbes où le théorème s'applique
La démonstration du théorème de Green est simple dans
le cas d'un domaine du type
avec
f1 et
f2 deux fonctions
C1 sur I = [a,b] telles que
f1(x) < f2(x) (domaine de type I)
Elle s'applique aussi dans le cas d'un domaine du type
d'un domaine du type
avec
f1 et
f2 deux fonctions
C1 sur I = [a,b] telles que
f1(y) < f2(y) (domaine de type II)
On peut aussi l'appliquer à des domaines formés de juxtaposition
de domaines de type I ou de type II : par exemple
Mais on peut aussi l'appliquer à des courbes du type suivant
à condition de bien orienter la courbe : la courbe extérieure est orientée dans le sens "trigonométrique,
la courbe intérieure dans le sens inverse.
Théorème du flux-divergence
Définition : Si
F = (P,Q) est un champ de vecteurs
C1, on appelle
divergence de
F et on note div
F la fonction scalaire
div
.
Théorème :
Soit
une courbe
C1 fermée sans points doubles entourant un
domaine
et orientée de manière à avoir
sur la
gauche. Soit
F = (P,Q) un champ de vecteurs sur
définie et de classe
C1
sur
. Alors,
.
En changeant
P en
-Q et
Q en
P, on obtient
.
Or, si le vecteur
dM tangent à la courbe "est"
(dx,dy), le vecteur normal à la courbe sortant "est"
et
forment une base directe (pour passer
de
à
dM, on tourne
dans le sens trigonométrique)
ce qui donne le théorème du flux-divergence en dimension 2.
Exercices autour du théorème de Green
Exercice sur la connexité
Exercice sur les hypothèses du théorème de Green
Exercice sur la démonstration du théorème de Green
Conséquences
Théorème :
Si
F est un champ de vecteurs de
défini sur
de
rotationnel nul
et si
est une courbe fermée dans
,
sans points doubles bordant un domaine
D contenu dans
,
alors l'intégrale curviligne de
F le long de
est nulle.
Dans le théorème précédent, certaines hypothèses ne sont pas fondamentales. Par exemple, on imagine bien
comment en déduire un résultat similaire pour la courbe suivante qui a un point double
Par contre, l'hypothèse que non seulement la courbe
soit contenue dans
, mais que le domaine qu'elle
entoure soit aussi contenue dans
est essentielle :
revoir l' Exemple
.
.
Définition :
Un ouvert
est dit connexe (par arcs) si deux points quelconques de
peuvent être reliés par un chemin entièrement contenu dans
.
Définition :
Un ouvert
est dit simplement connexe
(par arcs) s'il est connexe
et si de plus toute courbe fermée sans points doubles dans
entoure un domaine entièrement contenu dans
.
Ainsi, si
est un ouvert simplement connexe de
, l'intégrale curviligne
d'un champ de vecteurs de rotationnel nul le long d'un chemin ne dépend que des extrémités
du chemin. On en déduit grâce à
ce théorème
Théorème :
Si
est un ouvert simplement connexe de
,
tout champ de vecteurs
C1 dont le rotationnel est nul est un champ de gradient.
Calcul d'aires
Soit une courbe
C1 fermée sans points doubles entourant un
domaine .
Choisissons un champ de vecteurs
F dont le rotationnel est égal à
1,
c'est-à-dire
, on a alors
aire() =
On a donc ramené un calcul d'aire à un calcul d'intégrale curviligne.
Par exemple, les champs de vecteurs donnés par
,
(-y,0) ou
(0,x) conviennent.
D'où les formules :
Prenons par exemple un domaine défini par
a
x
b, 0
y
f(x)
pour une fonction
f positive. Des trois formules précédentes, c'est la seconde qui est la plus intéressante
pour ce domaine : L'intégrale curviligne est nulle sur les deux bords verticaux, elle est nulle aussi sur le
bord horizontal inférieur car on a alors
y = 0. Donc , si
C1 est la courbe
y = f(x),
x
[a, b],
aire() =
Ainsi, la formule de Green est une généralisation de la formule reliant
l'intégrale d'une fonction positive avec l'aire du domaine associé.
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