Changement de variables
Objectifs
La méthode du changement de variable est très utile pour le calcul d'intégrale ou de primitive ; elle peut conduire à des erreurs si elle n'est pas appliquée avec soin. On peut aussi se compliquer la vie inutilement si on l'applique de travers.
Guide
Le théorème
une fonction réelle de classe
C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit
f une fonction continue sur l'intervalle
. On a l'égalité :
Cas où le changement de variables est évident
On doit calculer ; on voit que x apparaît toujours par l'intermédiaire d'une expression plus complexe et de sa dérivée : une fonction réelle de classe
C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit
f une fonction continue sur l'intervalle
. On a l'égalité :
est
C1 sur [a,b] et on remplace
| par | u | |
| par | du | |
| les bornes a et b | par | et . |
On obtient ainsi une nouvelle intégrale égale à l'intégrale .
Remarque : Quand x vaut a, la nouvelle variable vaut ...
Exemple
Pour voir le théorème en même temps.
une fonction réelle de classe
C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit
f une fonction continue sur l'intervalle
. On a l'égalité :
Calculons dx. La fonction à intégrer est de la forme f(exp(x2) ) où est la dérivée de et où f est la fonction définie par f(u)= u. On fait donc le changement de variable u=exp(x2) :
- On prend f(u)=u et .
-
On vérifie que
est une fonction
C1 sur l'intervalle [4 ,8].
- On vérifie que f est une fonction continue sur l'intervalle .
- Puis on remplace
exp(x2) par u dt par du les bornes 4 et 8 par e4 p(4 2) et e8p(82)
On obtient donc :
Cas où le changement de variables n'est pas évident
On peut aussi utiliser la formule du théorème une fonction réelle de classe
C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit
f une fonction continue sur l'intervalle
. On a l'égalité :
Contrairement à ce qu'il est souvent écrit, on n'a pas besoin de définir la fonction réciproque de . Par contre, il est essentiel de trouver un intervalle [a,b] tel que
- la fonction
est définie, de classe
C1 sur [a,b] et vérifie
et
- la fonction f est continue sur (attention, peut être plus grand que ).
On peut alors appliquer le théorème
une fonction réelle de classe
C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit
f une fonction continue sur l'intervalle
. On a l'égalité :
:
- on choisit a et b vérifiant et et on détermine l'intervalle ;
- on vérifie que
est
C1 sur l'intervalle [a,b] ;
- on vérifie que f est une fonction continue sur ; c'est immédiat dans le cas ;
- on remplace
x par dx par les bornes 
et
par a et b
On obtient ainsi une nouvelle intégrale égale à l'intégrale .
Remarque :
- En général, on choisit
a et
b de manière à ce que la fonction
soit bijective de [a,b] sur [,], et en particulier tel que
soit égal à
: par exemple dans le cas où le changement de variables est x=cos(u) avec les bornes
=0 et
, personne n'aurait l'idée saugrenue de prendre
et
b=80
si la fonction
f est définie sur 
. Mais c'est permis !
- En aucun cas, il n'est nécessaire que la réciproque de
soit
C1.
Exemple typique Exercices corrigés
Exemple typique
Pour voir le théorème. une fonction réelle de classe
C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit
f une fonction continue sur l'intervalle
. On a l'égalité :
On veut calculer l'intégrale
.
On a envie de poser
x=cos( t) et de prendre comme fonction
la fonction définie par
sur un intervalle à déterminer.
- La fonction
est
C1 sur . On choisit deux nombres
a et
b tel que
cos(a)= -1 et cos(b)=1 , a= et
b=0
par exemple.,
On peut aussi prendre a= -3 et
b=8 ;
mais bien sûr, jamais personne ne fera cela !
L'image de
est de toute façon contenue dans [-1,1] (et même égale).
- La fonction f définie sur [-1,1] par est continue sur [-1,1] ;
-
On obtient par le théorème :
.
Il ne reste plus qu'à finir les
calculs.
Sur l'intervalle [0,], la fonction sin est positive, on a donc :
Remarquons que si on avait pris les bornes saugrenues
a= -3 et
b=8, la fonction sin n'aurait pas été positive entre
-3 et
8 et le calcul aurait été moins simple !
Exercices corrigés
et
? Que vaut l'intégrale transformée ?
- la fonction définie sur l'intervalle
[
]
par
(t)=cos(t) est
C1.
-
Son image est contenue dans l'intervalle [-1,1]. On a
, cos(6 )=1 - La fonction f définie sur [-1,1] par est continue sur [-1,1].
Bien que correct, le choix de cet intervalle est tout à fait déconseillé car la suite des calculs serait très compliquée puisqu'il faudrait séparer en intervalles où sin est de signe constant pour calculer .
-
Arctan(a)=0, Arctan(b)=
- la fonction est définie et C1 sur l'intervalle [a,b] (ou [b,a]).
Par contre en transformant astucieusement, on peut utiliser dans ce cas le changement de variable dit évident
ou conseillé, c'est-à-dire transformer 1/(2+cos(x)) par les formules de trigonométrie jusqu'à tomber sur
une expression de la forme
.
Sur quel intervalle peut-on alors prendre comme fonction
la fonction donnée par
?
Changement de variables dans une primitive
Pour le calcul de la primitive sur l'intervalle [c,d] (avec ), on applique le changement de variable si on peut-
choisir un
y vérifiant
et un
tel que
- vérifier que
est
C1 sur
(ou
)
- vérifier que f est une fonction continue sur .
Pour remplir ces conditions, on est donc amené à choisir un changement de variable
bijectif sur [c,d] afin de pouvoir considérer la fonction réciproque
de
sur
.
- pour tout x de [c,d], on pose y=(x)
- on vérifie que
est
C1 sur
- on vérifie que f est continue sur [c,d].
La primitive F est alors définie sur [c,d] et on a en tout point x de [c,d]
Exercices interactifs