OEF- Fonctions dérivées --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 50 exercices sur la notion de nombre dérivé, le calcul de dérivée et premières applications.

Approximation affine 1

Une fonction de courbe représentative est telle que:

et

Quelle est l'approximation affine de en ?

Approximation affine 2

Donner une valeur approchée de sachant que:

et

Approximation affine 3

Soit la fonction définie sur par .
Déterminer par approximation affine, une valeur approchée de .

  1. Donner l'expression de
  2. Puis calculer et
  3. En déduire une valeur approchée de

Approximation affine 4

Soit la fonction définie sur par .
Déterminer par approximation affine, une valeur approchée de .

  1. Donner l'expression de
  2. Puis calculer et
  3. En déduire une valeur approchée de

Approximation affine 5

Soit la fonction définie sur par .
Déterminer par approximation affine, une valeur approchée de .

  1. Donner l'expression de
  2. Puis calculer et
  3. En déduire une valeur approchée de

Dérivée produit ou inverse 1

Soit la fonction définie sue par:

Cocher la ou les bonnes réponses:


Dérivée produit ou inverse 2

Calculer pour

Dérivée produit ou inverse 3

Calculer pour

Dérivée produit ou inverse 4

Calculer pour

Dérivée produit ou inverse 5

Calculer pour

Dérivée d'un quotient 1

Soit la fonction définie sue par:

Cocher les bonnes réponses:

Dérivée d'un quotient 2

Dans quels cas peut-on utiliser la formule ?

Dérivée d'un quotient 3

Calculer pour

Dérivée d'un quotient 4

Calculer pour

Dérivée d'un quotient 5

Soit la fonction définie sur par:

  1. Calculer
  2. Vérifier que pour tout ,
    Déterminer les réels et
  3. Calculer à partir de cette nouvelle écriture de = +

Dérivée somme ou produit par un réel 1

Calculer pour

Dérivée somme ou produit par un réel 2

Calculer pour

Dérivée somme ou produit par un réel 3

Calculer pour

Dérivée somme ou produit par un réel 4

Calculer pour

Dérivée somme ou produit par un réel 5

Calculer pour

Recherche d'extremum 1

Le plus grand cône
On construit un cône dans une sphère de centre O et de rayon R comme indiqué sur la figure.

On veut déterminer la distance pour que ce cône ait un volume maximal.

  1. On note .
    Donner l'expression algébrique de représentant le volume du cône en fonction de et de R :
    =
  2. Déterminer la hauteur en fonction de R pour laquelle le volume du cône est maximal :
    =
Dans un disque de rayon R, on découpe un secteur circulaire de radian.
En joignant les deux bords droits du secteur angulaire restant, on fabrique un cône.

On veut déterminer pour quelle valeur de le volume du cône est maximal:

  1. On note la hauteur du cône.
    Donner l'expression algébrique de représentant le volume du cône en fonction de et de R:
    =
  2. Calculer la hauteur pour laquelle le volume du cône est maximal:
    =
  3. Exprimer , rayon de la base du cône correspondant à cette hauteur =
  4. En exprimant que la circonférence du secteur angulaire de départ correspond à la circonférence de la base du cône, donner une valeur exacte de =
Taper "pi" pour et "sqrt(a)" pour .

Recherche d'extremum 2

Un coffre à bijoux a la forme d'un parallélépipède rectangle à base carrée et a un volume imposé de L ( dm3).

Le matériau utilisé pour construire les bases coûte euros le mètre carré et celui utilisé pour construire la surface latérale coûte euros le mètre carré.

  1. Exprimer le prix de revient en fonction du côté (en dm) de la base carrée:
  2. En déduire les dimensions de la boîte pour que le prix de revient soit minimal.
    côté de la base: dm
    Hauteur de la boîte : dm

Recherche d'extremum 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormal .

Une droite non parallèle aux axes et de pente négative passant par le point coupe l'axe des abscisses en et l'axe des ordonnées en .

Déterminer l'équation réduite pour que le triangle ait une aire minimale.

Recherche d'extremum 4

On considère un carré de côté .
On note le milieu de [AB] et celui de [AD].
Un point se déplace sur le segment [AI], on note .
Soit le point de [BC] tel que le triangle soit rectangle en .

  1. Déterminer en fonction de l'aire du triangle
  2. Quelle est la valeur de rendant cette aire minimale?
    =
Indication: on remarquera que les triangles et sont semblables!

Recherche d'extremum 5

Le parc d'attraction Totoland a ouvert en 2007 et a reçu visiteurs avec un billet d'entrée valant euros.
Une étude de marché a montré que si le prix du billet d'entrée augmentait de , le nombre de visiteurs baisserait de 10 %, et que si le prix baissait de , le nombre de visiteurs augmenterait de 10 %.

On fait l'hypothèse que cette étude de marché se prolonge ainsi à toute hausse ou baisse du prix du billet.

On veut déterminer quel prix du billet d'entrée en 2008 permettrait de réaliser une recette maximale:

  1. Exprimer la recette réalisée en fonction du prix du billet d'entrée:
    =
  2. En déduire le prix correspondant au maximum de cette recette:
    =

Dérivée de fonction de référence 1

Calculer pour et Taper "sqrt(a)" pour .

Dérivée de fonction de référence 2

Calculer pour et Taper "sqrt(a)" pour .

Dérivée de fonction de référence 3

Calculer pour et Taper "sqrt(a)" pour .

Dérivée de fonction de référence 4

Calculer pour et Taper "sqrt(a)" pour .

Dérivée de fonction de référence 5

Calculer pour et Taper "sqrt(a)" pour .

Nombre Dérivé 1

Soit la fonction définie sur , par : .
On veut calculer le nombre dérivé de en , en utilisant la définition.

  1. Calculer =
  2. Exprimer en fonction de
  3. Calculer le rapport en fonction de h:
  4. En déduire la valeur du nombre dérivé de en

Nombre Dérivé 2

Soit la fonction définie sur , par : .
On veut calculer le nombre dérivé de en , en utilisant la définition.

  1. Calculer =
  2. Exprimer en fonction de
  3. Calculer le rapport en fonction de h:
  4. En déduire la valeur du nombre dérivé de en

Nombre Dérivé 3

Soit la fonction définie sur , par : .
On veut calculer le nombre dérivé de en , en utilisant la définition.

  1. Calculer =
  2. Exprimer en fonction de
  3. Calculer le rapport en fonction de h:
  4. En déduire la valeur du nombre dérivé de en
  5. Compléter:
    La tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse est la droite
    qui passe par A(; )
    et qui a pour coefficient directeur

    Nombre Dérivé 4

    Soit la fonction définie sur , par : .
    On veut calculer le nombre dérivé de en , en utilisant la définition.

    1. Calculer =
    2. Exprimer en fonction de
    3. Calculer le rapport en fonction de h:
    4. En déduire la valeur du nombre dérivé de en
    5. Compléter:
      La tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse est la droite
      qui passe par A(; )
      et qui a pour coefficient directeur

      Nombre Dérivé 5

      On a tracé la courbe représentative d'une fonction et certaines de ses tangentes.
      Lire graphiquement:
      1. =
      2. =
      3. =
      On a tracé la courbe représentative d'une fonction .
      Déplacer le point A sur la courbe et lire graphiquement les valeurs de pour compléter le tableau suivant:

      Donner des valeurs décimales avec 2 décimales, ou bien des fractions irréductibles.

      Nombre de solutions et encadrement 1

      On considère la fonction définie sur par :

      On note et avec .

      On veut déterminer sans calculatrice le nombre de solutions de l'équation:

      1. Compléter le tableau des variations de   sg     0 0     ? ?

      2. Soit la racine non nulle de . Quel est le signe de ?
        3. Encadrer par deux entiers consécutifs:
        < <
      3. En déduire une judicieuse de
    6. En déduire le nombre de solutions de l'équation

Nombre de solutions et encadrement 2

On considère la fonction définie sur par :

On note et avec .

On veut déterminer sans calculatrice le nombre de solutions de l'équation:

  1. Compléter le tableau des variations de   sg     0 0    

  2. En déduire le nombre de solutions de

Nombre de solutions et encadrement 3

On considère la fonction définie sur par :

On note et avec .

On veut déterminer sans calculatrice le nombre de solutions de l'équation:

  1. Compléter le tableau des variations de   sg     0 0 0    

  2. En déduire le nombre de solutions de

Nombre de solutions et encadrement 4

On considère la fonction définie sur par :

On note et avec .

On veut déterminer sans calculatrice le nombre de solutions de l'équation:

  1. Compléter les deux premières lignes du tableau des variations de
     
    sg     0 0  
     

  2. On note et , avec les deux valeurs de annulant la dérivée .
    Encader et par deux entiers consécutifs:
  3. En déduire les signes de et et compléter la dernière ligne du tableau des variations.
  4. En déduire le nombre de solutions de

Nombre de solutions et encadrement 5

On considère la fonction définie sur par :

On note et avec .

On veut encadrer sur l'intervalle [;]:

  1. Calculer = et =
  2. Compléter le tableau des variations de   sg     0 0    

  3. En déduire l'encadrement cherché:

Signe de la dérivée et variations 1

On considère une fonction définie sur [ ; ], dont on connaît le tableau des variations:

 
 
 
 

Quel est le signe de

  • sur [;]:
  • sur [;]:

    • Signe de la dérivée et variations 2

    Compléter le tableau des variations d'une fonction dérivable sur sachant que:

    et

     
    sg     0 0  
         

    Signe de la dérivée et variations 3

    Compléter le tableau des variations d'une fonction dérivable sur sachant que:

    et ,

     
    sg      
     

    Signe de la dérivée et variations 4

    On a dessiné les courbes représentatives de 4 fonctions (en rouge) et de leurs dérivées (en bleu).

    Associez à la courbe de chaque fonction, celle de sa dérivée.


    Signe de la dérivée et variations 5


    On conviendra que la partie visible du graphique respecte le tableau de variation de .

    Cocher les bonnes propositions:

    Equation de tangente 1

    Une fonction de courbe représentative est telle que:

    et

    Ecrire une équation de la tangente à au point d'abscisse :

    Equation de tangente 2

    Soit la fonction , de courbe représentative , définie sur par:
    .
    Ecrire une équation de la tangente à au point d'abscisse :

    Equation de tangente 3

    Soit la fonction définie sur par :

    Combien existe-t-il de points de où la tangente a pour coefficient directeur ?

    Il existe de où la tangente a pour coefficient directeur .

    Indiquer l'abscisse de ce point:

    Indiquer les abscisses et de ces points avec

    Equation de tangente 4

    Soit la fonction définie sur par et sa représentation graphique.

    Déterminer les coordonnées des points suivants:

    1. A, point en lequel admet une tangente horizontale:
      =( , )
    2. B, point en lequel admet une tangente parallèle à la droite d'équation =( , )

    Equation de tangente 5

    Soit la fonction , de courbe représentative , définie sur par:

    .

    On cherche à déterminer l'équation d'une droite de pente qui soit tangente à en deux points distincts.

    1. Quelle est l'équation de ?
    2. Quelles sont les abscisses et avec des points de tangence?
      =
      =
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    Description: autopositionnement Premiere S: Fonctions dérivées. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games

    Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, , dérivation dérivée tangente variation approximation affine